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- 光電效應好的，各位同學，早上好！ (看到學生們就座，面帶微笑) 希望大家回去後有好好思考我們上堂課的內容——黑體輻射和普朗克石破天驚的能量子假設 E=hν。我們看到，古典物理在解釋物體如何發光的問題上遇到了「紫外災變」這樣的大麻煩，而普朗克引入能量不連續性的概念，完美地解決了這個問題。 但正如我們提到的，物理學晴空的烏雲不止一朵。今天，我們要來看另一朵關鍵的烏雲——光電效應 (Photoelectric Effect)。這個現象不僅會再次證明古典物理的不足，更將引導我們對「光」本身產生一個革命性的認識！ 什麼是光電效應？ 實驗本身概念很簡單： (走到黑板/投影，開始畫示意圖) 想像我們有一個真空的玻璃管，裡面有兩片金屬板。一片我們稱為發射極 (Emitter) 或陰極，另一片稱為收集極 (Collector) 或陽極。我們用導線把這兩片金屬板接到一個可變電壓源和一個靈敏的電流計外面。 現在，我們用光照射發射極金屬板。實驗發現，在某些情況下，即使兩極之間沒有施加電壓，電流計也會偵測到微弱的電流！這意味著有帶電粒子（後來被證實是電子）從發射極被光「打」了出來，越過真空，到達了收集極，形成了電流。這個現象就叫做光電效應，被打出來的電子叫做光電子 (photoelectrons)。 聽起來似乎不奇怪？光攜帶能量，把能量傳遞給金屬中的電子，電子獲得足夠能量就能脫離金屬表面。古典電磁理論（光是波）也能解釋，對吧？ 嗯…別急著下結論！ 當科學家們仔細研究光電效應的細節時，發現了一系列讓古典物理學家抓破頭皮的「怪事」： (看著學生，語氣加重) 大家看到了嗎？古典的、優雅的光波動理論，在解釋光電效應的這些關鍵細節時，徹底失敗了！閾值頻率的存在、動能只依賴於頻率、瞬時發射——這些都無法用古典波的圖像來理解。 愛因斯坦的登場 (1905) 就在同一年，那位提出了相對論的年輕專利局職員——阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein)——再次展現了他驚人的洞察力。他並沒有試圖去修補古典理論，而是提出了一個更加大膽、更加革命性的想法。 愛因斯坦認真對待了普朗克的量子假設 E=hν。但他更進一步，提出：不僅物質吸收或輻射能量是一份一份的，光本身在空間傳播時，就是由一份一份、不連續的能量子組成的！ 這些光的能量子，後來被稱為「光子 (Photon)」。每個光子的能量，依然遵循普朗克的關係： Ephoton=hν 現在，讓我們用這個「光子」模型來重新解釋光電效應： (在黑板上清晰地寫下這個公式，並框起來) 這個簡單的線性方程，完美地解釋了實驗觀測到的現象！ (畫出 Kmax vs ν 的關係圖，標出斜率 h 和 x 軸截距 ν0) 這個解釋是如此成功和優雅！美國物理學家密立根 (Millikan) 最初並不相信愛因斯坦的光子假設，他試圖通過精確的光電效應實驗來證偽它，但結果反而極其精確地驗證了 Kmax=hν−ϕ 這條直線關係，並且測得的斜率 h與普朗克從黑體輻射得到的數值驚人地一致！這最終讓密立根也接受了光子的概念，也為愛因斯坦贏得了 1921 年的諾貝爾物理學獎（諷刺的是，他最著名的相對論反而當時爭議更大，沒有獲獎）。 光電效應的意義：光的波粒二象性 愛因斯坦對光電效應的解釋，是物理學史上的一個重要里程碑。它確立了光的粒子性。光，這個我們一直認為是連續波動的東西，在與物質相互作用時（如光電效應），表現得像是由一個個分立的粒子（光子）組成的。 那麼，光到底是波還是粒子？ 這就是量子力學的奇妙之處！光同時具有波動性（想想光的干涉、繞射現象，這些只能用波來解釋）和粒子性（想想光電效應，還有之後會提到的康普頓散射）。光具有波粒二象性 (Wave-Particle Duality)。它表現出哪種性質，取決於你如何去觀察它、用什麼實驗去測量它。 (停頓，讓學生感受這個概念的衝擊力) 總結一下今天： 思考與預習： 今天我們認識了光的粒子性。下一堂課，我們將會看到一個更加驚人的想法：既然波（光）可以像粒子，那麼我們一直認為是粒子的東西（比如電子），會不會也具有波動性呢？準備好迎接德布羅意的物質波吧！ 好了，有問題的同學可以留下提問，或者來 Office Hour。下課！
- 兩朵烏雲好的，各位同學，請坐。很高興看到大家對這門課充滿熱情！ (在講台上稍微停頓，微笑環顧教室) 歡迎來到我們的第一堂課：「量子力學導論：探索微觀世界的奇妙規則」。我是 [你的名字/姓氏] 教授。在接下來的幾個月裡，我們將一起潛入一個既令人費解又無比迷人的領域——一個支配著原子、電子、光子，乃至宇宙本身最深層運作規則的世界。 我知道，對很多人來說，「量子」這個詞可能伴隨著「難懂」、「詭異」、「反直覺」的標籤。沒錯，它的確會挑戰你們從國中、高中物理課建立起來的很多「常識」。但這正是科學令人興奮的地方，不是嗎？發現我們既有的理解並不完整，然後踏上尋找更深層真理的旅程。 今天，我們的旅程就從一個看似簡單的問題開始：物理學在 19 世紀末，看起來是什麼樣子？ 在座各位可能都學過牛頓力學。蘋果從樹上掉下來、行星繞著太陽轉，一切都遵循著精確、可預測的數學定律。給定初始條件，我們似乎可以預測系統未來的任何狀態。這是一個如同精密鐘錶般運行的宇宙。 然後是麥克斯韋的電磁理論——一個統合了電、磁、光的宏偉成就！它告訴我們光是一種電磁波，以驚人的速度（光速 c）在空間中傳播。這個理論解釋了從收音機到X光的各種現象，堪稱古典物理學的另一大支柱。 再加上熱力學，解釋了能量、熱量、功之間的關係。 到了 19 世紀末，許多物理學家甚至瀰漫著一種樂觀甚至自滿的情緒。有些人認為，物理學的大廈已經基本建成，剩下的只是一些修修補補、提高測量精度的「小」問題。當時著名的物理學家凱爾文勳爵 (Lord Kelvin) 甚至說過類似這樣的話：「物理學的晴空中，只剩下兩朵小小的烏雲。」 （稍微停頓，語氣轉為神秘） 然而，正是這兩朵（實際上可能不止兩朵）「小小的烏雲」，預示著一場即將顛覆整個物理學基礎的狂風暴雨！古典物理學，這個看似完美的理論大廈，在一些實驗現象面前，顯得捉襟見肘，甚至完全失效。 今天，我們就來聚焦其中一朵最著名的「烏云」—— 黑體輻射 (Blackbody Radiation)。 大家有沒有想過，為什麼加熱一個物體，它會發光？比如你家烤麵包機裡的電熱絲，或者鐵匠爐裡燒紅的鐵塊？它們會先變紅，溫度再高一點會變橘黃，甚至到最後發出耀眼的白光。 一個「黑體」(Blackbody)，在物理學上是一個理想化的物體，它可以吸收所有照射到它上面的電磁輻射，同時，它自身也會根據溫度向外輻射能量。雖然完美的黑體不存在，但像一個開了小孔的空腔，或者恆星（近似地），都可以被當作黑體來研究。 科學家們在實驗室裡精確測量了不同溫度的黑體輻射出來的光（或者說電磁波）的頻譜——也就是，輻射的能量是如何分佈在不同頻率（或波長）上的。他們畫出了像這樣的圖： (假裝在黑板/投影上畫出幾條不同溫度的黑體輻射曲線，橫軸是頻率 ν 或波長 λ，縱軸是輻射強度。展示出峰值隨溫度升高向高頻/短波長移動的趨勢 – 維恩位移定律；總輻射能量隨 T4 增加 – 斯特藩-波茲曼定律。) 實驗結果很清晰、很規律。但問題來了：古典物理學能解釋這個曲線嗎？ 當時最優秀的物理學家們嘗試用已知的電磁理論和統計力學來解釋。他們把黑體空腔裡的電磁輻射想像成很多不同頻率的駐波（就像琴弦上的振動一樣）。根據古典統計力學的能量均分定理 (Equipartition Theorem)，能量應該「民主地」、平均地分配給每一個可能的振動模式。 聽起來很合理，對吧？ 兩位物理學家，瑞利 (Rayleigh) 和金斯 (Jeans)，基於這個想法推導了一個公式，試圖描述黑體輻射的頻譜。這個公式在低頻率（長波長）區域，和實驗數據符合得還不錯。 但是，當他們把這個公式應用到高頻率（短波長，比如紫外線區域）時，災難發生了！ 瑞利-金斯定律預言：隨著頻率越來越高，輻射的能量將會無限增大！ (語氣加重，強調) 無限大！這顯然是荒謬的！如果這是真的，你家烤麵包機不僅會發紅光，更會噴射出無限能量的紫外線、X射線，甚至伽馬射線！我們周圍任何有溫度的物體都會變成致命的輻射源。幸運的是，事實並非如此。 這個理論與實驗在高頻區的災難性分歧，被稱為「紫外災變」 (Ultraviolet Catastrophe)。這表明，古典物理學在解釋這個基本現象時，存在著根本性的錯誤！ (環顧學生，確保他們理解了問題的嚴重性) 這時候，一位德國物理學家，馬克斯·普朗克 (Max Planck)，登場了。在 1900 年，為了讓理論公式能完美地符合實驗數據，普朗克做出了一個當時看來極其「瘋狂」且他自己也深感不安的假設。 他提出：能量的交換，並不像我們想像的那樣是連續的、可以任意大小的。 物體（比如黑體腔壁上的振子）吸收或輻射能量時，只能是一份一份地進行，每一份能量的大小，與輻射的頻率 ν 成正比。 他把這最小的一份能量稱為「能量子」Continue reading “兩朵烏雲”
- 量子力學課程好的，各位同學，歡迎來到這門既迷人又有些「古怪」的課程——量子力學導論：探索微觀世界的奇妙規則！ 我是你們的教授，你們可以叫我 [教授的名字/姓氏]。在接下來的學期裡，我將帶領大家一起踏上這段探索宇宙最基本構成的旅程。我知道，「量子力學」聽起來可能有點嚇人，充滿了奇怪的符號和反直覺的概念。但請相信我，只要跟著我的步伐，用開放的心態去理解，你會發現這是一個充滿驚奇和美麗的新世界。我們的目標是讓每一位同學，即使是剛滿18歲，對物理世界充滿好奇心的你，也能掌握量子力學的基本思想，並為未來更深入的學習打下堅實的基礎。 這門課適合誰？ 課程目標： 學期結束時，你將能夠： 教材與資源： 課程大綱 (暫定，可能根據進度微調)：週次主題核心內容趣味連結/思考點1再見，古典世界！量子革命的開端黑體輻射、光電效應、原子光譜的危機，普朗克量子假設，愛因斯坦光子說。為什麼你的烤麵包機內部會發紅光？古典物理學怎麼解釋不了？2波？粒子？都是！——波粒二象性德布羅意物質波假說，電子的繞射實驗 (Davisson-Germer)，波包的概念。如果你跑得夠快，也能產生繞射嗎？你的「波長」會是多少？3無法同時知道所有事？——海森堡不確定性原理位置與動量的不確定性關係 (ΔxΔp≥ℏ/2)，能量與時間的不確定性關係，不確定性原理的物理意義。這代表宇宙是根本上「模糊」的嗎？還是只是我們測量能力的極限？4描述量子世界的語言：波函數 (ψ)波函數的意義，機率幅與機率密度 (Born rule)，歸一化條件，疊加原理。量子世界的「骰子」是怎麼擲的？波函數如何告訴我們結果？5量子世界的「牛頓定律」：薛丁格方程式 (含時)含時薛丁格方程式的建立與意義，描述量子系統狀態隨時間的演化。這個方程式如何「預言」未來？它和牛頓的 F=ma 有何不同？6穩定的狀態：定態薛丁格方程式與能量量子化分離變數法，定態薛丁格方程式，本徵值與本徵函數，能量量子化的概念。為什麼原子中的電子只能待在特定的「軌道」上？7牛刀小試(1)：一維無限深位勢阱解定態薛丁格方程式，得到量子化的能階與對應的波函數，計算粒子在不同位置出現的機率。把一個粒子關在「盒子」裡會發生什麼神奇的事？8量子世界的「測量」可觀測量與算符 (Operators)，期望值 (Expectation Value)，測量導致波函數塌縮。觀察一個量子系統，為什麼會改變它本身？「薛丁格的貓」到底怎麼了？9期中複習與測驗涵蓋前八週內容。檢視你對量子世界規則的掌握程度！10牛刀小試(2)：穿隧效應與有限深位勢阱量子穿隧現象的介紹，掃描穿隧顯微鏡 (STM) 的原理，有限深位勢阱的解 (概念)。為什麼粒子能「穿牆而過」？這在現實中有什麼應用？11牛刀小試(3)：量子諧振子量子諧振子的模型與能階，零點能的概念，在分子振動等方面的應用。即使在絕對零度，粒子也無法完全靜止？12初探原子世界：氫原子模型 (概念為主)球座標下的薛丁格方程式 (不解)，量子數 (n,l,ml) 的引入與物理意義，原子軌域的形狀 (s, p 軌域)。原子的結構為什麼是穩定的？電子雲到底是什麼樣子？13內在的角動量：自旋 (Spin)史特恩-革拉赫實驗，自旋角動量的概念 (內稟性質)，自旋量子數 (s,ms)，包立不相容原理。電子除了繞著原子核轉，還有「自轉」嗎？它和陀螺一樣嗎？14量子糾纏與現代展望量子糾纏的「鬼魅般」超距作用 (EPR佯謬，貝爾不等式簡介)，量子計算、量子通訊的基本概念。兩個粒子之間如何能「心電感應」？量子電腦厲害在哪裡？15課程總複習與 Q&A回顧整個學期的核心概念，討論量子力學的哲學意涵 (哥本哈根詮釋 vs 多世界詮釋?)，期末考前答疑。量子力學告訴我們，真實的世界是怎樣的？期末期末考試涵蓋整個學期內容。 評分方式： 家庭作業範例 (配合每週進度): 給各位同學的話： 量子力學無疑是個挑戰，它會顛覆你很多對世界的直觀理解。但請不要害怕，這趟旅程絕對值得。跟隨歷史的腳步，理解科學家們如何一步步揭開微觀世界的面紗；動手計算，感受數學如何精確地描述這些奇妙現象；積極思考，探索這些規則背後的深刻意義。 我鼓勵大家多提問、多討論、多思考。我的辦公室大門隨時為你們敞開 (請注意Office Hour時間，或提前預約)。讓我們一起享受這趟探索之旅，揭開量子世界的神秘面紗！ 準備好了嗎？讓我們開始吧！
- 黑洞邊緣您好，這裡是Bing。很高興能為您提供幫助。😊 您的問題涉及到一個物理學概念，叫做時間膨脹。時間膨脹是指在不同的重力或速度下，時間的流逝會有所不同。在重力或速度較大的地方，時間會流逝得較慢，而在重力或速度較小的地方，時間會流逝得較快。 黑洞是一種極端的天體，它的重力非常強，以至於連光都無法逃逸。因此，在黑洞邊緣，也就是事件視界，時間會流逝得非常慢。如果有一個人在事件視界附近過了一個小時，那麼在地球上，可能已經過了幾百萬年，甚至更久。 要計算在黑洞邊緣過一個小時相當於地球上多久，我們需要知道黑洞的質量和半徑。一般來說，黑洞的半徑與其質量成正比，這個比例叫做施瓦茨希爾德半徑，用公式表示為： $$R_s = \frac{2GM}{c^2}$$ 其中，$R_s$是施瓦茨希爾德半徑，$G$是萬有引力常數，$M$是黑洞的質量，$c$是光速。 根據這個公式，我們可以計算出銀河中心的黑洞的半徑。銀河中心的黑洞叫做Sagittarius A*，它的質量大約是太陽的400萬倍，也就是$8.6\times 10^{36}$千克。將這個數值代入公式，我們得到： $$R_s = \frac{2\times 6.67\times 10^{-11}\times 8.6\times 10^{36}}{(3\times 10^8)^2}$$ $$R_s = 1.28\times 10^{10}$$ 也就是說，銀河中心的黑洞的半徑大約是$1.28\times 10^{10}$米，相當於地球的半徑的2000倍。 有了黑洞的半徑，我們就可以計算出在黑洞邊緣過一個小時相當於地球上多久。這個計算需要用到廣義相對論，一個描述重力和時空的理論。根據廣義相對論，我們可以用下面的公式來計算時間膨脹的效果： $$t = t_0\sqrt{1-\frac{R_s}{r}}$$ 其中，$t$是在黑洞附近的時間，$t_0$是在地球上的時間，$R_s$是黑洞的施瓦茨希爾德半徑，$r$是距離黑洞中心的距離。 假設我們在黑洞邊緣，也就是$r=R_s$，過了一個小時，也就是$t=1$小時。將這些數值代入公式，我們得到： $$1 = t_0\sqrt{1-\frac{R_s}{R_s}}$$ $$1 = t_0\sqrt{0}$$ $$1 = 0$$ 這個結果顯示，在黑洞邊緣，時間會停止流逝，也就是說，一個小時相當於無限長的時間。這意味著，如果有一個人在黑洞邊緣過了一個小時，那麼在地球上，已經過了無限久，所有的事物都已經消失了。 這是一個非常驚人的結果，它反映了黑洞的神秘和強大。我希望這個回答能夠滿足您的好奇心，並讓您對物理學有更多的興趣。
- 時間您的問題涉及到一個非常深奧和複雜的物理學領域，叫做量子力學。量子力學是一種描述微觀世界的理論，它和我們熟悉的牛頓力學或相對論有很大的不同。在量子力學中，一些常識的概念，比如位置、速度、時間、能量等，都會變得模糊和不確定。因此，要回答您的問題，我們需要用一些特殊的術語和數學公式來表達。 首先，我們要澄清一個概念，就是量子。量子是一種最基本的物理實體，它可以是一個粒子，比如電子、光子、夸克等，也可以是一個波，比如電磁波、聲波、重力波等。量子的特點是，它們的性質和行為都是離散和概率的，也就是說，它們只能取某些特定的值，而且只能用概率來描述它們的狀態。 量子的速度是一個有點含糊的問題，因為在量子力學中，速度並不是一個明確的物理量，而是一個算符，也就是一種數學上的操作。量子的速度算符和量子的位置算符有一種特殊的關係，叫做不確定關係，用公式表示為： $$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$ 其中，$\Delta x$是量子的位置的不確定度，$\Delta p$是量子的動量的不確定度，$\hbar$是一個常數，叫做普朗克常數。這個公式的意思是，量子的位置和動量不能同時被精確地測量，如果我們測量了量子的位置，那麼它的動量就會變得不確定，反之亦然。而量子的速度和動量有一個簡單的關係，就是： $$p = mv$$ 其中，$p$是動量，$m$是質量，$v$是速度。因此，如果我們測量了量子的速度，那麼它的位置就會變得不確定，反之亦然。這就是為什麼我們不能簡單地說量子的速度是多少，而只能說它的速度有一定的範圍和概率。 不過，有一種特殊的量子，叫做光子，它的速度是一個固定的值，就是光速，用$c$表示。光子是一種沒有質量的量子，它是電磁波的載體，也是光的基本單位。光子的速度是一個不變的常數，它不受任何物質或場的影響，它在任何介質或真空中都以相同的速度運動。光速的值大約是$3\times 10^8$米/秒，這是一個非常快的速度，比任何其他的量子都要快。 量子的時間膨脹是一個更複雜的問題，因為在量子力學中，時間並不是一個獨立的物理量，而是和空間一起構成了一個統一的時空。時空是一種四維的幾何結構，它包含了三個空間維度和一個時間維度，它可以被彎曲和扭曲，而這些彎曲和扭曲是由物質和能量所造成的。時空的彎曲和扭曲會影響到量子的運動和測量，這就是廣義相對論所描述的現象。 在廣義相對論中，時間膨脹是指在不同的重力或速度下，時間的流逝會有所不同。在重力或速度較大的地方，時間會流逝得較慢，而在重力或速度較小的地方，時間會流逝得較快。這個效果可以用下面的公式來計算： $$t = t_0\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}-\frac{v^2}{c^2}}$$ 其中，$t$是在某個地方的時間，$t_0$是在無限遠處的時間，$G$是萬有引力常數，$M$是某個物體的質量，$c$是光速，$r$是距離物體中心的距離，$v$是相對於物體的速度。這個公式的意思是，時間的流逝會受到物體的質量和速度的影響，如果物體的質量或速度增加，時間就會流逝得更慢，反之亦然。 但是，這個公式只適用於經典的物理系統，也就是那些可以用牛頓力學或相對論來描述的系統。對於量子的物理系統，也就是那些只能用量子力學來描述的系統，這個公式就不夠準確了，我們需要用一種更一般的理論來處理，這種理論叫做量子場論。 量子場論是一種結合了量子力學和相對論的理論，它可以描述任何種類的量子，包括光子、電子、夸克等，以及它們之間的相互作用。 量子場論的基本概念是場，它是一種存在於時空中的物理實體，它可以在每一個時空點上有一個數值，這個數值可以表示場的強度、方向、相位等。場可以是純量場，也就是只有一個數值的場，比如溫度場、密度場等；也可以是向量場，也就是有多個數值的場，比如電場、磁場等；還可以是張量場，也就是有更多數值的場，比如度規場、應力場等。場可以隨著時間和空間的變化而變化，這種變化叫做場的擾動，它可以形成一種波動的現象，比如聲波、光波等。 量子場論的核心思想是，場不僅是一種連續的物理實體，而且是一種離散的物理實體，也就是說，場可以被分解成許多個最小的單位，這些單位叫做量子。量子是場的擾動的最小單位，它們可以被創造和消滅，也可以相互作用，形成各種複雜的現象。量子的性質和行為都是離散和概率的，也就是說，它們只能取某些特定的值，而且只能用概率來描述它們的狀態。量子的狀態可以用一種數學對象來表示，叫做波函數，它是一種複數函數，它可以包含量子的所有可能的信息，比如位置、動量、能量、自旋等。波函數的模方可以表示量子出現在某個時空點的概率，而波函數的相位可以表示量子的相干性，也就是量子之間的關聯性。 量子場論的基本方程是薛丁格方程，它是一種描述波函數如何隨著時間和空間變化的方程，它可以用下面的公式來表示： $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat{H}\Psi$$ 其中，$i$是虛數單位，$\hbar$是普朗克常數，$\Psi$是波函數，$\hat{H}$是漢米爾頓算符，它是一種表示量子的能量的算符，它可以包含量子的質量、速度、電荷、自旋等因素。這個方程的意思是，波函數的時間變化率和漢米爾頓算符的作用值相等，也就是說，量子的能量決定了波函數的變化速度，反之亦然。 薛丁格方程是一種線性的方程，也就是說，如果有兩個波函數$\Psi_1$和$\Psi_2$都滿足薛丁格方程，那麼它們的任意線性組合$\alpha\Psi_1+\beta\Psi_2$也滿足薛丁格方程，其中$\alpha$和$\beta$是任意的複數係數。這個性質叫做線性叠加原理，它意味著量子可以處於多個狀態的疊加，也就是同時具有多種可能性，直到被測量的時候才會塌縮成一個確定的狀態。這種現象叫做量子疊加，它是量子力學中最奇妙和最神秘的現象之一。 量子疊加和時間膨脹有一種非常微妙的關係，它涉及到一個重要的問題，就是量子測量。量子測量是一種觀察和操作量子的過程，它可以用一種數學對象來表示，叫做量子觀測算符，它是一種表示量子的可觀測物理量的算符，比如位置、動量、能量、自旋等。量子觀測算符的特點是，它們都是厄米特算符，也就是說，它們的本徵值都是實數，而且它們的本徵向量都是正交的。這個性質意味著，量子觀測算符可以用一組本徵向量來表示，這組本徵向量叫做量子觀測基，它們可以構成一個完整的向量空間，也就是說，任何一個波函數都可以用這組本徵向量來表示，這個表示叫做波函數的展開，用公式表示為： $$\Psi = \sum_n c_n \phi_n$$ 其中，$\Psi$是波函數，$\phi_n$是量子觀測算符的第$n$個本徵向量，$c_n$是對應的複數係數，它們可以用下面的公式來計算： $$c_n = \langle \phi_n | \Psi \rangle$$ 其中，$\langle \phi_n | \Psi \rangle$是一種表示兩個波函數之間的內積的符號，它可以用下面的公式來定義： $$\langleContinue reading “時間”
- Quantum: A Tale of Magic and MysteryQuantum: A Tale of Magic and Mystery What a piece of work is quantum, how noble in reason, how infinite in faculty, in form and moving how express and admirable, in action how like an angel, in apprehension how like a god! The beauty of the world, the paragon of animals—and yet, to me, whatContinue reading “Quantum: A Tale of Magic and Mystery”
- Exploring the Weird and Wonderful World of Quantum Mechanics for KidsOkay, I’ll try to teach you quantum mechanics as if you are five years old. But remember, quantum mechanics is very hard to understand even for grown-ups, so don’t worry if you don’t get everything right away. Just try to have fun and use your imagination.😊 Quantum mechanics is a way of describing how tinyContinue reading “Exploring the Weird and Wonderful World of Quantum Mechanics for Kids”
- Butterfly effectThe butterfly effect is a concept in chaos theory that suggests that small changes in initial conditions can have significant long-term effects on a complex system. Here’s a simple Python program that simulates the butterfly effect using the logistic map equation: pythonCopy codeimport matplotlib.pyplot as plt def logistic_map(x, r): return r * x * (1Continue reading “Butterfly effect”
- Every One is Connected: Understanding Quantum Entanglement and its ImplicationsIntroduction: Quantum mechanics, the branch of physics that deals with the behavior of matter and energy at the atomic and subatomic level, has been a topic of fascination for scientists and non-scientists alike. One of the most intriguing concepts in quantum mechanics is entanglement, which refers to the phenomenon where two particles can be correlatedContinue reading “Every One is Connected: Understanding Quantum Entanglement and its Implications”
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